Специалист родом из Татарстана закончил волгоградкий футбольный интернат.
Известен по тренерской работе в "Оренбурге" с которым дважды занимал 5-е место в ФНЛ, попутно выйдя в полуфинал Кубка России, где по пенальти проиграл московскому «Локомотиву» (2015) и выиграв Кубок ФНЛ (2016), где Евдокимов был признан лучшим тренером.
Роберт дважды подряд признавался лучшим тренером сезона в ФНЛ в сезонах 2014/2015 и 2015/2016.
В 2016 году «Газовик» досрочно занял первое место в ФНЛ и вышел в Премьер-лигу.
В Премьер-лиге по итогам сезона клуб занял 13-е место и попал в стыковые матчи, в которых в итоге по пенальти уступил хабаровскому СКА, после чего в тренерском и руководящем составе клуба произошли изменения, и Роберт Евдокимов покинул клуб.
Последним местом работы Роберта был казахский "Тобол"